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Quando eu era criança me deparei com a Linha do Horizonte e me perguntei:
– Qual a distância da beira da praia até a linha do horizonte?
Perguntei pra algumas pessoas, mas elas não souberam me responder e resolvi deixar para depois, pensei que no futuro talvez soubesse a resposta para essa dúvida.
Primeiramente, o que é a linha do horizonte? É a Linha que se estende até onde alcança o olhar.
1. A altura da pessoa altera a distância do horizonte?
2. A elevação em relação ao nível do mar altera essa distância?
3. A curvatura da Terra influencia essa distância?
4. Qual seria então a distância da Linha do Horizonte em outros planetas?
Ora, o Horizonte nada mais é do que um efeito visual gerado pela curvatura da Terra, ou seja, a linha do horizonte depende de “quão curva” a terra é, assim iremos assumir que a Terra é uma Esfera de raio R (R≈6378,1km). Se traçarmos um segmento de reta partindo de nossos olhos e tangenciando a superfície da terra então podemos definir a distância D que a linha do horizonte de encontra de nossos olhos, então um dos fatores que irá influenciar no cálculo dessa distância será a altura h que nossos olhos se encontram do chão.
Então três medidas estarão envolvidas:
O raio da terra (R);
A altura do observador (h);
A distância da Linha do Horizonte (D).
O segmento de reta de comprimento D é perpendicular ao raio da Terra, pois a reta à qual contém esse segmento tangencia um grande círculo da terra. Utilizando um Milenar Teorema da Geometria advindo da Escola Pitagórica, conhecido também por Teorema de Pitágoras (risos), temos a solução para nossos problemas:
(R+h)^2=R^2+D^2
R^2+2hR+h^2=R^2+D^2
2hR+h^2=D^2
D=sqrt(h2+2hR)
À medida que nos elevamos do nível do mar, a distância da Linha do Horizonte aumenta, ou seja, a Linha do Horizonte da minha infância agora está mais longe! Antes era em torno de 4,37 km, hoje é 4,66 km.
Iremos agora responder as perguntas formuladas começo da postagem:
1. A altura da pessoa altera a distância do horizonte?
Acabamos de ver que sim, pois o cálculo dessa distância depende da altura h que os olhos do observador se encontra do nível do mar.
2. A elevação em relação ao nível do mar altera essa distância?
Sim, nesse caso a fórmula ficaria da seguinte forma:
D=sqrt[(h+a)2+2(h+a)R]
onde, h é a altura da pessoa, a é a elevação em relação ao nível do mar e R é o raio da Terra em metros.
Por exemplo, uma pessoa de 1,80 m (em média, os olhos se encontram à 10 cm do topo da cabela, por isso aqui será usado h=1,70) que está no alto de uma montanha com 50 m de altura do nível do mar (a=50) irá enxergar o horizonte a uma distância de aproximadamente 25,51 km.
3. A curvatura da Terra influencia essa distância?
Este é um conceito de Geometria Diferencial, a curvatura gaussiana K de uma esfera depende do raio da esfera considerada, de fato, K=1/R^2, assim, em alguns pontos da Terra o horizonte está mais perto ou mais longe, perto da Linha do Equador o horizonte está mais perto do que próximo ao pólos, mas a diferença é muito pequena.
4. Qual seria então a distância da Linha do Horizonte em outros planetas?
Nesse caso a fórmula ficaria da seguinte forma:
D=sqrt[(h+a)2+2(h+a)Rp]
onde, h é altura dos olhos do observador ao solo, a é a altitude em relação ao ponto mais baixo do planeta(não considerando crateras) e Rp é o raio do planeta considerado. Note que essa fórmula é bem geral, a tabela abaixo mostra a distância do horizonte em alguns planetas, na lua e no sol. (Consideraremos uma pessoa de 1,80 m de altura, com os olhos à uma distância de 1,70 m do solo e no ponto mais baixo do planeta).
Encerro deixando a célebre frase de Isaac Newton, que agora faz todo sentido:
“Se pude enxergar mais longe, é porque me apoiei nos ombros de gigantes.”
BLOG GIGA MATEMÁTICA: http://gigamatematica.blogspot.com.br/2013/03/qual-distancia-da-linha-do-horizonte.html
Matemática Rio
